Регистр сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС, англ. linear feedback shift register , LFSR ) - регистр сдвига битовых слов, у которого значение входного (вдвигаемого) бита равно линейной булевой функции от значений остальных битов регистра до сдвига. Может быть организован как программными, так и аппаратными средствами. Применяется для генерации псевдослучайных последовательностей битов , что находит применение, в частности, в криптографии .
Описание
Управление регистром в аппаратных реализациях производится подачей сдвигающего импульса (иначе называемого тактовым или синхроимпульсом ) на все ячейки. Управление регистром в программных реализациях производится выполнением цикла . На каждой итерации цикла вычисляется функция обратной связи и выполняется сдвиг битов в слове.
Принцип работы
Линейная сложность
Корреляционная независимость
Пытаясь получить высокую линейную сложность генерируемой последовательности, криптографы нелинейно объединяют выходы нескольких регистров сдвига. При этом одна или несколько выходных последовательностей (или даже выходы отдельных РСЛОС) могут быть связаны общим потоком и вскрыты криптоаналитиком . Взлом на основе такой уязвимости называют корреляционным вскрытием . Основная идея такого взлома заключается в обнаружении некоторой корреляции между выводом генератора и выводами его составных частей. Затем, наблюдая выходную последовательность, можно получить информацию об этих промежуточных выводах, и, таким образом, взломать генератор. Томас Сигенталер показал, что можно точно определить корреляционную независимость, и что существует компромисс между корреляционной независимостью и линейной сложностью .
Программная реализация
Программные реализации РСЛОС достаточно медленны и работают быстрее, если они написаны на ассемблере . Одно из решений - параллельное использование 16-ти РСЛОС (или 32-х, в зависимости от длины слова в архитектуре компьютера). В такой схеме используется массив слов, размер которого равен длине регистра сдвига , а каждый бит слова относится к своему РСЛОС. Так как используются одинаковые номера отводных последовательностей, то это может дать заметный выигрыш в производительности генератора .
Конфигурация Фибоначчи
Рассмотрим 32-битовый сдвиговый регистр. Для него имеется отводная последовательность (32 , 31 , 30 , 28 , 26 , 1) {\displaystyle \left(32,\;31,\;30,\;28,\;26,\;1\right)} . Это означает, что для генерации нового бита необходимо с помощью операции XOR просуммировать 31-й, 30-й, 29-й, 27-й, 25-й и 0-й биты. Полученный РСЛОС имеет максимальный период 2 32 − 1 {\displaystyle 2^{32}-1} . Код для такого регистра на языке Си следующий:
int LFSR_Fibonacci (void ) { static unsigned long S = 0x00000001 ; S = ((((S >> 31 ) ^ (S >> 30 ) ^ (S >> 29 ) ^ (S >> 27 ) ^ (S >> 25 ) ^ S ) & 0x00000001 ) << 31 ) | (S >> 1 ); return S & 0x00000001 ; }
Конфигурация Галуа
Данный генератор не обладает большей криптостойкостью , но он даёт выигрыш в производительности: все операции XOR посредством распараллеливания можно выполнить за одно действие, а не последовательно одна за другой, как в конфигурации Фибоначчи. Данная схема также даст выигрыш при аппаратной реализации.
Код для регистра сдвига длины 32 бит на языке Си следующий:
int LFSR_Galois (void ) { static unsigned long S = 0x00000001 ; if (S & 0x00000001 ) { S = (S ^ 0x80000057 >> 1 ) | 0x80000000 ; return 1 ;} else { S >>= 1 ; return 0 ;} }
Стоит отметить, что цикл из фиксированного числа вызовов функции LFSR_Galois в конфигурации Галуа выполняется примерно в 2 раза быстрее, чем функция LFSR_Fibonacci в конфигурации Фибоначчи (компилятор MS VS 2010 на Intel Core i5).
Пример генерируемой последовательности
Конфигурация Фибоначчи
Пусть РСЛОС задаётся характеристическим многочленом x 3 + x + 1 {\displaystyle x^{3}+x+1} . Это значит, что битами отвода будут 2-й и 0-й, а единица в формуле многочлена означает, что 0-й бит - входной. Функция обратной связи имеет вид S j = S j − 1 ⊕ S j − 3 {\displaystyle S_{j}=S_{j-1}\oplus S_{j-3}} . Допустим, изначальным состоянием регистра сдвига была последовательность . Дальнейшие состояния регистра приведены в таблице ниже:
| Номер шага | Состояние | Генерируемый бит |
|---|---|---|
| 0 | [ 0 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
| 1 | 0 | |
| 2 | 0 | |
| 3 | 1 | |
| 4 | 1 | |
| 5 | 1 | |
| 6 | 0 | |
| 7 | [ 0 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
Поскольку внутреннее состояние на седьмом шаге вернулось к исходному, то, начиная со следующего шага, будет идти повтор битов. То есть генерируемая последовательность такова: [ 1 , 0 , 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 1 . . . ] {\displaystyle \left} (порядок бит в последовательности соответствует порядку их генерации РСЛОС). Таким образом, период последовательности равен 7, то есть максимально возможному значению, что произошло в силу примитивности заданного многочлена.
Конфигурация Галуа
Возьмём тот же характеристический многочлен, то есть c 3 = c 1 = 1 {\displaystyle c_{3}=c_{1}=1} , c 2 = 0 {\displaystyle c_{2}=0} . С выходным битом складывается только 1-й бит. Начальное состояние то же самое. Дальнейшие состояния регистра:
| Номер шага | Состояние | Генерируемый бит |
|---|---|---|
| 0 | [ 0 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | - |
| 1 | [ 1 , 0 , 0 ] {\displaystyle \left} | 0 |
| 2 | [ 0 , 1 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
| 3 | [ 1 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
| 4 | [ 1 , 1 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
| 5 | [ 1 , 1 , 0 ] {\displaystyle \left} | 0 |
| 6 | [ 0 , 1 , 0 ] {\displaystyle \left} | 0 |
| 7 | [ 0 , 0 , 1 ] {\displaystyle \left} | 1 |
Внутреннее состояние регистра на седьмом шаге вернулось к исходному, следовательно, его период также равен 7. В отличие от конфигурации Фибоначчи, внутренние состояния регистра получились другие, но генерируемая последовательность та же, только сдвинута на 4 такта : [ 0 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 1 , . . . ] {\displaystyle \left} (порядок бит в последовательности соответствует порядку их генерации РСЛОС).
Генерация примитивных многочленов
| Биты, n {\displaystyle n} | Примитивный многочлен | Период, 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} | Число примитивных многочленов |
|---|---|---|---|
| 2 | x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{2}+x+1} | 3 | 1 |
| 3 | x 3 + x 2 + 1 {\displaystyle x^{3}+x^{2}+1} | 7 | 2 |
| 4 | x 4 + x 3 + 1 {\displaystyle x^{4}+x^{3}+1} | 15 | 2 |
| 5 | x 5 + x 3 + 1 {\displaystyle x^{5}+x^{3}+1} | 31 | 6 |
| 6 | x 6 + x 5 + 1 {\displaystyle x^{6}+x^{5}+1} | 63 | 6 |
| 7 | x 7 + x 6 + 1 {\displaystyle x^{7}+x^{6}+1} | 127 | 18 |
| 8 | x 8 + x 6 + x 5 + x 4 + 1 {\displaystyle x^{8}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+1} | 255 | 16 |
| 9 | x 9 + x 5 + 1 {\displaystyle x^{9}+x^{5}+1} | 511 | 48 |
| 10 | x 10 + x 7 + 1 {\displaystyle x^{10}+x^{7}+1} | 1023 | 60 |
| 11 | x 11 + x 9 + 1 {\displaystyle x^{11}+x^{9}+1} | 2047 | 176 |
| 12 | x 12 + x 11 + x 10 + x 4 + 1 {\displaystyle x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{4}+1} | 4095 | 144 |
| 13 | x 13 + x 12 + x 11 + x 8 + 1 {\displaystyle x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{8}+1} | 8191 | 630 |
| 14 | x 14 + x 13 + x 12 + x 2 + 1 {\displaystyle x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{2}+1} | 16383 | 756 |
| 15 | x 15 + x 14 + 1 {\displaystyle x^{15}+x^{14}+1} | 32767 | 1800 |
| 16 | x 16 + x 14 + x 13 + x 11 + 1 {\displaystyle x^{16}+x^{14}+x^{13}+x^{11}+1} | 65535 | 2048 |
| 17 | x 17 + x 14 + 1 {\displaystyle x^{17}+x^{14}+1} | 131071 | 7710 |
| 18 | x 18 + x 11 + 1 {\displaystyle x^{18}+x^{11}+1} | 262143 | 7776 |
| 19 | x 19 + x 18 + x 17 + x 14 + 1 {\displaystyle x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{14}+1} | 524287 | 27594 |
| 20 - 168 | |||
| 2 - 786, 1024, 2048, 4096 | |||
Преимущества и недостатки
Преимущества
- высокое быстродействие криптографических алгоритмов, создаваемых на основе РСЛОС (например потоковых шифров);
- применение только простейших битовых операций сложения и умножения, аппаратно реализованных практически во всех вычислительных устройствах;
- хорошие криптографические свойства (РСЛОС могут генерировать последовательности большого периода с хорошими статистическими свойствами);
- благодаря своей структуре, РСЛОС легко анализируются с использованием алгебраических методов.
Недостатки
Способы улучшения криптостойкости генерируемых последовательностей
Генераторы с несколькими регистрами сдвига
Генератор такого типа состоит из нескольких регистров сдвига с линейной обратной связью, которые генерируют биты x 1 , i , x 2 , i , … , x M , i {\displaystyle x_{1,i},\;x_{2,i},\;\dots ,\;x_{M,i}} соответственно. Далее, генерируемые биты преобразуются некоторой булевой функцией f (x 1 , i , x 2 , i , … , x M , i) {\displaystyle f(x_{1,i},\;x_{2,i},\;\dots ,\;x_{M,i})} . Необходимо отметить, что у генераторов такого типа длины регистров L i {\displaystyle L_{i}} , i = 1 , 2 , … , M {\displaystyle i=1,\;2,\;\dots ,\;M} , взаимно просты между собой.
Период данного генератора равен T = (2 L 1 − 1) ⋅ (2 L 2 − 1) ⋯ (2 L M − 1) ≲ 2 L {\displaystyle T=(2^{L_{1}}-1)\cdot (2^{L_{2}}-1)\cdots (2^{L_{M}}-1)\lesssim 2^{L}} , где L = ∑ i = 1 M L i {\displaystyle L=\sum \limits _{i=1}^{M}L_{i}} - общее число ячеек. Следовательно, использование нескольких РСЛОС увеличивает период генерируемой последовательности по сравнению с одним регистром, что увеличивает криптостойкость генератора. Также увеличивается линейная сложность или длина кратчайшего регистра, соответствующего данному генератору. Такой регистр находится с помощью алгоритма Берлекэмпа - Мэсси по генерируемой последовательности. В лучшем случае его длина соизмерима с периодом генерируемой последовательности .
Генераторы с нелинейными преобразованиями
Структурная схема такого генератора ничем не отличается от схемы предыдущего генератора. Главное отличие заключается в том, что устройство преобразования задано нелинейной булевой функцией f (x 1 , x 2 , … , x M) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{M})} . В качестве такой функции берётся, например, полином Жегалкина (согласно теореме Жегалкина , всякая булева функция единственным образом может быть представлена полиномом Жегалкина).
Нелинейный генератор может быть также реализован на регистре сдвига с нелинейной обратной связью . Он может дать 2 2 L − 1 − L {\displaystyle 2^{2^{L-1}-L}} вариантов последовательностей максимального периода , что больше, чем у РСЛОС .
Криптостойкость данного генератора повышается за счет нелинейности используемой функции. Определение состояния регистров по генерируемой последовательности битов является сложной математической задачей, потому что не известен алгоритм, восстанавливающий исходные состояния.
Данный метод используется, например, в генераторе Геффа и обобщённом генераторе Геффа, однако такие генераторы могут быть взломаны корреляционным вскрытием .
Генераторы с различным тактированием регистров сдвига
Генератор «стоп-пошёл»
Генератор «стоп-пошёл» (англ. Stop-and-Go , Both-Piper ) использует вывод РСЛОС-1 для управления тактовой частотой РСЛОС-2, так что РСЛОС-2 меняет своё состояние в некоторый момент времени , только если выход РСЛОС-1 в момент времени был равен единице. Данная схема не устояла перед корреляционным вскрытием .
В целях увеличения криптостойкости был предложен чередующийся генератор «стоп-пошёл» . В нём используются три регистра сдвига различной длины. Здесь РСЛОС-1 управляет тактовой частотой 2-го и 3-го регистров, то есть РСЛОС-2 меняет своё состояние, когда выход РСЛОС-1 равен единице, а РСЛОС-3 - когда выход РСЛОС-1 равен нулю. Выходом генератора является операция сложения по модулю два выходов РСЛОС-2 и РСЛОС-3. У данного генератора большой период и большая линейная сложность. Существует способ корреляционного вскрытия РСЛОС-1, но это не сильно ослабляет криптографические свойства генератора.
Усложнённая схема тактирования использована в двустороннем генераторе «стоп-пошёл» , в котором используются 2 регистра сдвига одинаковой длины. Если выход РСЛОС-1 в некоторый момент времени t i − 1 {\displaystyle t_{i-1}} - единице, то РСЛОС-2 не тактируется в момент времени t i {\displaystyle t_{i}} . Если выход РСЛОС-2 в момент времени t i − 1 {\displaystyle t_{i-1}} равен нулю, а в момент времени t i − 2 {\displaystyle t_{i-2}} - единице, и если этот регистр тактируется в момент времени t i {\displaystyle t_{i}} , то в этот же момент РСЛОС-1 не тактируется. Линейная сложность данной схемы примерно равна периоду генерируемой последовательности.
Самопрореживающий генератор
Многоскоростной генератор с внутренним произведением
Данный генератор использует два регистра сдвига РСЛОС-1 и РСЛОС-2. Тактовая частота РСЛОС-2 в d {\displaystyle d} раз больше, чем у РСЛОС-1. Определённые биты этих регистров перемножаются друг с другом операцией AND . Результаты умножений суммируются операцией XOR, и получается выходная последовательность. Этот генератор имеет высокую линейную сложность и обладает хорошими статистическими свойствами. Однако его состояние может быть определено по выходной последовательности длиной L 1 + L 2 + log 2 d {\displaystyle L_{1}+L_{2}+\log _{2}{d}} , где L 1 {\displaystyle L_{1}} и L 2 {\displaystyle L_{2}} - длины РСЛОС-1 и РСЛОС-2 соответственно, а d {\displaystyle d} - отношение их тактовых частот.
Каскад Голлманна
Данная схема представляет собой улучшенную версию генератора «стоп-пошёл». Он состоит из последовательности РСЛОС, тактирование каждого из которых управляется предыдущим РСЛОС. Если выходом РСЛОС-1 в момент времени t i {\displaystyle t_{i}} является 1,то тактируется РСЛОС-2. Если выходом РСЛОС-2 в момент времени t i {\displaystyle t_{i}} является 1, то тактируется РСЛОС-3, и так далее. Выход последнего РСЛОС является выходом генератора. Если длина всех РСЛОС одинакова и равна L {\displaystyle L} , то период системы из M {\displaystyle M} РСЛОС равен (2 L − 1) M {\displaystyle (2^{L}-1)^{M}} , а линейная сложность - L (S) = L (2 L − 1) M − 1 {\displaystyle L(S)=L(2^{L}-1)^{M-1}} .
Эта идея проста и может быть использована для генерации последовательностей с огромными периодами, большими линейными сложностями и хорошими статистическими свойствами. Но, к сожалению, они чувствительны к вскрытию, называемому запиранием (англ. lock-in ), когда
Министерство образования и науки
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ
Криптографические методы и средства обеспечения информационной безопасности
Курсовая работа
«Р егистры сдвига с линейной обратной связью как генераторы псевдослучайных чисел»
Выполнил:
студент 3-го курса
группа КЗОИ-Д-3
Ларионов И.П.
Проверила:
доц. Баранова Е.К.
Москва 2011
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ……………………………..…………………………………….3
- Теоретические основы работы
…………………………………………4
- Общие сведения о регистрах сдвига с обратной связью……...…..4
- О потоковых шифрах на базе РгСсЛОС………………….………10
- О линейной сложности генерируемой псевдослучайной последовательности РгСсЛОС………………………………….……12
- О корреляционной независимости генерируемой последовательности псевдослучайных чисел РгСсЛОС………..….13
- О других способах вскрытия генерируемой последовательности псевдослучайных чисел РгСсЛОС…………………………………..14
- Общие сведения о регистрах сдвига с обратной связью……...…..4
- Программная реализация РгСсЛОС как генератора псевдослучайной последовательности
….…………………………….15
- Обобщенная схема алгоритма…………………………………...15
- Описание программных модулей и интерфейса.……………….16
- Инструкция пользователя………………………………………...20
Заключение ………………………………………………………………22
Список литературы ………………………………………………….....23
Приложение А ….………………………………………………………..24
ВВЕДЕНИЕ
Целью данной работы является разработка программного приложения, реализующего работу генератора псевдослучайных чисел на регистрах сдвига с обратной связью. Разработка данного приложения с графическим интерфейсом осуществляется на языке C ++ для ОС Windows .
С развитием криптографии в ХХ веке перед криптографами встала задача создания шифровальных устройств и машин, которые могли бы быстро и надежно зашифровывать и расшифровывать сообщения. Этому требованию отвечали уже открытые в то время симметричные системы шифрования, однако их слабым местом была сильная зависимость от ключа и его секретность. Наиболее удобным классом шифров, которые можно было использовать для этой цели это шифры гаммирования. Возникла задача генерации гаммы, которую нельзя было бы обнаружить при дешифровании сообщения. Теоретически это было возможно, если каждый раз гамма была случайной и изменялась во времени. Однако при использовании абсолютно случайной изменяющейся гаммы было бы трудно обеспечить достоверную шифровку-дешифровку сообщения. Криптографы занялись решением этой задачи, целью которой было нахождения алгоритма реализующего генерацию случайной гаммы по определенному правилу, такая последовательность должна содержать в себе нули и единицы на «якобы» случайных позициях, причем число единиц и нулей должно быть примерно одинаково. Такая случайная последовательность была названа псевдослучайной, так как генерировалась она по определенному правилу, а не случайным образом.
Решение было вскоре найдено. Изучение свойств регистров сдвига позволило установить, что регистры сдвига с обратной связью способны генерировать достаточно стойкие к дешифровке псевдослучайные последовательности, обусловленные их внутренним строением.
1.Теоретические основы работы
1.1.Общие сведения о регистрах сдвига с линейной обратной связью
Последовательности регистров сдвига используются как в криптографии, так и в теории кодирования. Их теория прекрасно проработана, потоковые шифры на базе регистров сдвига являлись рабочей лошадкой военной криптографии задолго до появления электроники.
Регистр сдвига с обратной связью (далее РгСсОС) состоит из двух частей: регистра сдвига и функции обратной связи. Регистр сдвига представляет собой последовательность битов. Количество битов определяется длиной сдвигового регистра , если длина равна n битам, то регистр называется n-битовым сдвиговым регистром . Всякий раз, когда нужно извлечь бит, все биты сдвигового регистра сдвигаются вправо на 1 позицию. Новый крайний левый бит является функцией всех остальных битов регистра. На выходе сдвигового регистра оказывается один, обычно младший значащий, бит. Периодом сдвигового регистра называется длина получаемой последовательности до начала ее повторения.
Рисунок Регистр сдвига с обратной связью
Регистры сдвига очень быстро нашли применение в потоковых шифрах, так как они легко реализовывались с помощью цифровой аппаратуры. В 1965 году Эрнст Селмер (Ernst Selmer), главный криптограф норвежского правительства, разработал теорию последовательности регистров сдвига . Соломон Голомб (Solomon Golomb), математик NSA, написал книгу, излагающие некоторые свои результаты и результаты Селмера . Простейшим видом регистра сдвига с обратной связью является регистр сдвига с линейной обратной связью (linear feedback shift register , далее LFSR или РгСсЛОС) . Обратная связь таких регистров представляет собой просто XOR (сложение по модулю два) некоторых битов регистра, перечень этих битов называется отводной последовательностью (tap sequence). Иногда такой регистр называется конфигурацией Фиббоначи. Из-за простоты последовательности обратной связи для анализа РгСсЛОС можно использовать довольно развитую математическую теорию. Проанализировав получаемые выходные последовательности, можно убедиться в том, что эти последовательности достаточно случайны, чтобы быть безопасными. РгСсЛОС чаще других сдвиговых регистров используются в криптографии.
Рисунок РгСсЛОС Фиббоначи
В общем случае n -битовый РгСсЛОС может находиться в одном из N =2 n -1 внутренних состояний. Это означает, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом Т=2 n -1 битов. (Число внутренних состояний и период равны N = T max =2 n -1, потому что заполнение РгСсЛОС нулями, приведет к тому, что сдвиговый регистр будет выдавать бесконечную последовательность нулей, что абсолютно бесполезно). Только при определенных отводных последовательностях РгСсЛОС циклически пройдет через все 2 n -1 внутренних состояний, такие РгСсЛОС являются РгСсЛОС с максимальным периодом . Получившийся результат называется М-последовательностью .
Пример . На рисунке ниже показан 4-битовый РгСсЛОС с отводом от первого и четвертого битов. Если его проинициализировать значением 1111, то до повторения регистр будет принимать следующие внутренние состояния:
|
Номер такта сдвига (внутреннего состояния) |
Состояние регистров |
Выходной бит |
|||
|
Инициальное значение |
|||||
|
15 (возврат в инициальное состояние) |
|||||
|
16 (повтор состояний) |
|||||
Выходной последовательностью будет строка младших значащих битов: 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 с периодом Т=15, общее число возможных внутренних состояний (кроме нулевого), N =2 4 -1=16-1=15= T max , следовательно, выходная последовательность M -последовательность.
Для того чтобы конкретный РгСсЛОС имел максимальный период, многочлен, образованный из отводной последовательности и константы 1, должен быть примитивным по модулю 2. Многочлен представляется в виде суммы степеней, например многочлен степени n представляется так:
a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 1 x 1 +a 0 x 0 =a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 , где а i ={0,1} для i=1…n, a x i указывает разряд .
Степень многочлена является длиной сдвигового регистра. Примитивный многочлен степени n - это неприводимый многочлен, который является делителем x 2n−1 +1, но не является делителем x d +1 для всех d, являющихся делителями 2 n -1. Соответствующую математическую теорию можно найти в .
В общем случае не существует простого способа генерировать примитивные многочлены данной степени по модулю 2. Проще всего выбирать многочлен случайным образом и проверять, не является ли он примитивным. Это нелегко и чем-то похоже на проверку, не является ли простым случайно выбранное число - но многие математические пакеты программ умеют решать такую задачу.
Некоторые, но, конечно же, не все, многочлены различных степеней, примитивные по модулю 2, приведены далее. Например, запись
(32, 7, 5, 3, 2, 1, 0) означает, что следующий многочлен примитивен по модулю 2: x 32 + x 7 +x 5 + x 3 + x 2 + x + 1.
Это можно легко обобщить для РгСсЛОС с максимальным периодом. Первым числом является длина РгСсЛОС. Последнее число всегда равно 0, и его можно опустить. Все числа, за исключением 0, задают отводную последовательность, отсчитываемую от левого края сдвигового регистра. То есть, члены многочлена с меньшей степенью соответствуют позициям ближе к правому краю регистра.
Продолжая пример, запись (32, 7, 5, 3, 2, 1, 0) означает, что для взятого 32-битового сдвигового регистра новый бит новый бит генерируется с помощью XOR тридцать второго, седьмого, пятого, третьего, второго и первого битов, получающийся РгСсЛОС будет иметь максимальную длину, циклически проходя до повторения через 2 32 -1 значений.
Рисунок 4 32-битовый РгСсЛОС с максимальной длиной
Рассмотрим программный код РгСсЛОС, у которого отводная последовательность характеризуется многочленом (32, 7, 5, 3, 2, 1, 0). На языке C выглядит следующим образом :
int LFSR () {
static unsigned long ShiftRegister = 1;
/* Все , кроме 0. */
ShiftRegister = ((((ShiftRegister >> 31)
^(ShiftRegister >> 6)
^(ShiftRegister >> 4)
^(ShiftRegister >> 2)
^(ShiftRegister >> 1)
^ShiftRegister))
& 0x00000001)
<<31)
| (ShiftRegister >> 1) ;
return ShiftRegister & 0 x 00000001;}
Если сдвиговый регистр длиннее компьютерного слова, код усложняется, но не намного. В приложении B приведена таблица некоторых примитивных многочленов по модулю 2 , будем использовать ее в дальнейшем для выявления некоторых свойств этих многочленов, а также в программной реализации для задания отводной последовательности.
Следует обратить внимание, что у всех элементов таблицы нечетное число коэффициентов. Такая длинная таблица приведена для дальнейшей работы с РгСсЛОС, так как РгСсЛОС часто используются для криптографии с потоковыми шифрами и в генераторах псевдослучайных чисел. В нашем случае можно использовать многочлены со старшей степенью не более семи.
Если p(x) примитивен, то примитивен и x n p(1/x), поэтому каждый элемент таблицы на самом деле определяет два примитивных многочлена. Например, если (a, b, 0) примитивен, то примитивен и (a, a-b, 0). Если примитивен (a, b, c, d, 0), то примитивен и (a, a-d, a-c, a-b, 0). Математически:
если примитивен x a +x b +1, то примитивен и x a +x a-b +1,
если примитивен x a +x b +x c +x d +1, то примитивен и x a +x a-d +x a-c +x a-b +1. Быстрее всего программно реализуются примитивные трехчлены, так как для генерации нового бита нужно выполнять XOR только двух битов сдвигового регистра (нулевой член не учитывается, т.е. х 0 =1, см. пример выше). Действительно, все многочлены обратной связи, приведенные в таблице, являются разреженными, то есть, у них немного коэффициентов. Разреженность всегда представляет собой источник слабости, которой иногда достаточно для вскрытия алгоритма. Для криптографических алгоритмов гораздо лучше использовать плотные примитивные многочлены, те, у которых много коэффициентов. Применяя плотные многочлены, особенно в качестве части ключа, можно использовать значительно более короткие РгСсЛОС.
Генерировать плотные примитивные многочлены по модулю 2 нелегко. В общем случае для генерации примитивных многочленов степени k нужно знать разложение на множители числа 2 k -1.
Сами по себе РгСсЛОС являются хорошими генераторами псевдослучайных последовательностей, но они обладают некоторыми нежелательными неслучайными (детерминированными) свойствами. Последовательные биты линейны, что делает их бесполезными для шифрования. Для РгСсЛОС длины n внутреннее состояние представляет собой предыдущие n выходных битов генератора. Даже если схема обратной связи хранится в секрете, она может быть определена по 2n выходным битам генератора с помощью высоко эффективного алгоритма Berlekamp-Massey .
Кроме того, большие случайные числа, генерируемые с использованием идущих подряд битов этой последовательности, сильно коррелированны и для некоторых типов приложений вовсе не являются случайными. Несмотря на это РгСсЛОС часто используются для создания алгоритмов шифрования в качестве составных частей систем и алгоритмов шифрования.
1.2.О потоковых шифрах на базе РгСсЛОС
Основной подход при проектировании генератора потока ключей на базе РгСсЛОС прост. Сначала берется один или несколько РгСсЛОС, обычно с различными длинами и различными многочленами обратной связи. (Если длины взаимно просты, а все многочлены обратной связи примитивны, то у образованного генератора будет максимальная длина.) Ключ является начальным состоянием регистров РгСсЛОС. Каждый раз, когда необходим новый бит, сдвиньте на бит регистры РгСсЛОС (это иногда называют тактированием (clocking)). Бит выхода представляет собой функцию, желательно нелинейную, некоторых битов регистров РгСсЛОС. Эта функция называется комбинирующей функцией, а генератор в целом - комбинационным генератором. (Если бит выхода является функцией единственного РгСсЛОС, то генератор называется фильтрующим генератором.) Большая часть теории подобного рода устройств разработана Селмером (Selmer) и Нилом Цирлером (Neal Zierler). Можно ввести ряд усложнений. В некоторых генераторах для различных РгСсЛОС используется различная тактовая частота, иногда частота одного генератора зависит от выхода другого. Все это электронные версии идей шифровальных машин, появившихся до Второй мировой войны, которые называются генераторами с управлением тактовой частотой (clock - controlled generators ). Управление тактовой частотой может быть с прямой связью, когда выход одного РгСсЛОС управляет тактовой частотой другого РгСсЛОС, или с обратной связью, когда выход одного РгСсЛОС управляет его собственной тактовой частотой. Хотя все эти генераторы чувствительны, по крайней мере теоретически, к вскрытиям вложением и вероятной корреляцией, многие из них безопасны до сих пор.
Ян Касселлс (Ian Cassells), ранее возглавлявший кафедру чистой математики в Кембридже и работавший криптоаналитиком в Блетчли Парк (Bletchly Park), сказал, что «криптография - это смесь математики и путаницы, и без путаницы математика может быть использована против вас». Он имел в виду, что в потоковых шифрах для обеспечения максимальной длины и других свойств необходимы определенные математические структуры, такие как РгСсЛОС, но, чтобы помешать кому-то получить содержание регистра и вскрыть алгоритм, необходимо внести некоторый сложный нелинейный беспорядок. Этот совет справедлив и для блочных алгоритмов.
Большинство реальных потоковых шифров основаны на РгСсЛОС. Даже в первые дни электроники построить их было несложно. Сдвиговый регистр не представляет собой ничего большего, чем массив битов, а последовательность обратной связи - набор вентилей XOR. Даже при использовании СБИС потоковый шифр на базе РгСсЛОС обеспечивает немалую безопасность с помощью нескольких логических вентилей. Проблема РгСсЛОС состоит в том, что их программная реализация очень неэффективна. Вам приходится избегать разреженных многочленов обратной связи - они облегчают корреляционные вскрытия а плотные многочлены обратной связи неэффективны.
Эта отрасль криптографии быстро развивается и находится под зорким государственным контролем со стороны NSA . Большинство разработок засекречены - множество используемых сегодня военных систем шифрования основаны на РгСсЛОС. Действительно, у большинства компьютеров Cray (Cray 1, Cray X-MP, Cray Y-MP) есть весьма любопытная инструкция, обычно называемая как "счетчик совокупности" (population count). Она подсчитывает количество единиц в регистре и может быть использована как для эффективного вычисления расстояния Хэмминга между двумя двоичными словами и для реализации векторизированной версии РгСсЛОС. Эта инструкция считается канонической инструкцией NSA, обязательно фигурирующей почти во всех контрактах, касающихся компьютеров.
С другой стороны было взломано удивительно большое число казавшихся сложными генераторов на базе сдвиговых регистров. И, конечно же, число таких генераторов, взломанных военными криптоаналитическими учреждениями, такими как NSA, еще больше.
1.3.О линейной сложности генерируемой последовательности псевдослучайных чисел РгСсЛОС
Анализировать потоковые шифры часто проще, чем блочные. Например, важным параметром, используемым для анализа генераторов на базе РгСсЛОС, является линейная сложность (linear complexity), или линейный интервал. Она определяется как длина n самого короткого РгСсЛОС, который может имитировать выход генератора. Любая последовательность, генерированная конечным автоматом над конечным полем, имеет конечную линейную сложность . Линейная сложность важна, потому что с помощью простого алгоритма, называемого алгоритмом Berlekamp-Massey, можно определить этот РгСсЛОС, проверив только 2n битов потока ключей . Воссоздавая нужный РгСсЛОС, вы взламываете потоковый шифр.
Эта идею можно расширить с полей на кольца и на случаи, когда выходная последовательность рассматривается как числа в поле нечетной характеристики. Дальнейшее расширение приводит к вводу понятия профиля линейной сложности, который определяет линейную сложность последовательности по мере ее удлинения. Существую также понятия сферической и квадратичной сложности. В любом случае следует помнить, что высокая линейная сложность не обязательно гарантирует безопасность генератора, но низкая линейная сложность указывает на недостаточную безопасность генератора.
1.4.О корреляционной независимости генерируемой последовательности псевдослучайных чисел РгСсЛОС
Криптографы пытаются получить высокую линейную сложность, нелинейно объединяя результаты некоторых выходных последовательностей. При этом опасность состоит в том, что одна или несколько внутренних выходных последовательностей - часто просто выходы отдельных РгСсЛОС - могут быть связаны общим ключевым потоком и вскрыты при помощи линейной алгебры. Часто такое вскрытие называют корреляционным вскрытием или вскрытием разделяй-и-властвуй. Томас Сигенталер (Thomas Siegenthaler) показал, что можно точно определить корреляционную независимость, и что существует компромисс между корреляционной независимостью и линейной сложностью .
Основной идеей корреляционного вскрытия является обнаружение некоторой корреляции между выходом генератора и выходом одной из его составных частей. Тогда, наблюдая выходную последовательность, можно получить информацию об этом промежуточном выходе. Используя эту информацию и другие корреляции, можно собирать данные о других промежуточных выходах до тех пор, пока генератор не будет взломан.
Против многих генераторов потоков ключей на базе РгСсЛОС успешно использовались корреляционные вскрытия и их вариации, такие как быстрые корреляционные вскрытия, предлагающие компромисс между вычислительной сложностью и эффективностью.
1.5.О других способах вскрытия генерируемой последовательности псевдослучайных чисел РгСсЛОС
Существуют и другие способы вскрытия генераторов потоков ключей. Тест на линейную корректность (linear consistency) пытается найти некоторое подмножество ключа шифрования с помощью матричной техники. Существует и вскрытие корректности "встречей посередине" (meet-in-the-middle consistency attack). Алгоритм линейного синдрома (linear syndrome algorithm) основан на возможности записать фрагмент выходной последовательности в виде линейного уравнения. Существует вскрытие лучшим аффинным приближением (best afflne approximation attack) и вскрытие выведенным предложением (derived sequence attack). К потоковым шифрам можно применить также методы дифференциального и линейного криптоанализа.
2. Описание программной реализации РгСсЛОС как генератора псевдослучайной последовательности
2.1.Обобщенная схема алгоритма
2.2.Описание программных модулей и интерфейса
Ниже на рисунке 3 представлено окно программы.
Рисунок Интерфейс программы
В меню есть следующие функции:
- Файл->Сохранить отчет
Эта функция осуществляет создание файла отчета, куда записывается инициальное состояние РгСсЛОС, отводная последовательность, период полученной псевдослучайной последовательности бит, сама последовательность и таблица состояний. Если файл успешно был сохранен, то выдается сообщение об успешном сохранении (рисунок 4). Рекомендуемое расширение файла отчета *. txt .
Рисунок
- Файл- > Выход
Эта функция обеспечивает закрытие приложения.
- Задать отводную последовательность
Эта функция формирует отводную последовательность, считывая значения из клеточек, которые пользователь отметил галочкой на экранной форме. После чего она уведомляет пользователя о создании отводной последовательности (рисунок 5). Отводная последовательность определяет от каких триггеров регистра сдвига будут идти обратные связи XOR для формирования бита смещения. По умолчанию обратная связь от первого триггера стоит всегда, при отсутствии других связей, будет осуществляться сдвиг влево с перестановкой младшего бита на позицию старшего.
Рисунок
- Установить инициальное значение
Эта функция считывает введенное пользователем инициальное значение регистра из окна Edit 1 и осуществляет проверку введенного значения согласно заданным условиям: введенная строка непустая (рисунок 6), введенная строка имеет длину равную восьми (8бит=1байт, рисунок 7), введенная строка содержит только нули и/или единицы (рисунок 8), введенная строка ненулевая (рисунок 9). В противном случае выдаются сообщения об ошибке, пользователь должен их исправить и снова нажать на кнопку. В случае успешной проверки инициальное значение будет записано в таблицу состояний в строке «Инициальное» и выдано уведомление (рисунок 10).
Рисунок
Рисунок
Рисунок
Рисунок
Рисунок
- Произвести сдвиг регистра
Эта функция эмулирует работу регистра сдвига. Последовательно производя 256 сдвигов, каждый сдвиг формирует выходной бит псевдослучайной последовательности и новое состояние регистра. Как только находится состояние регистра равное инициальному, вычисляется период и выводит в поле Memo 1 полученную псевдослучайную последовательность.
- Помощь- > О программе
Эта функция выводит на экран краткое описание программы и инструкцию (рисунок 11).
Рисунок
- Помощь- > Об авторе
Эта функция выводит на экран информацию об авторе программы (рисунок 12).
Рисунок
2.3.Инструкция пользователя
- Сначала установите инициальное состояние регистра. Оно должно содержать восемь двоичных символов. В противном случае будет выдано сообщение об ошибке и Вам придется исправить введенное значение. Нажмите пункт меню «Задать инициальное значение».
- Затем отметьте флажками в клеточках обратные связи регистра (Отводная последовательность). Нажмите пункт меню «Задать отводную последовательность».
- Далее нажмите пункт меню «Сдвиг регистра». Обязательно перед этим удостоверьтесь в том, что вы выполнили пункт 1 и 2, иначе произойдет программная ошибка.
- Получив результаты вы можете их сохранить нажав пункт меню «Файл->Сохранить отчет». Обязательно перед этим удостоверьтесь в том, что вы выполнили пункты 1-3, иначе произойдет программная ошибка.
- Для получения справки нажмите пункты меню «Файл->О программе», «Файл->Об авторе».
- Чтобы посмотреть работу регистра при других значениях отводной последовательности и инициального состояния регистра, повторите последовательно действия в пунктах 1-3, введя другие параметры.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе были рассмотрены РгСсЛОС в качестве генераторов псевдослучайных чисел. Программа может служить наглядной демонстрацией принципов работы регистров сдвига с линейной обратной связью по XOR . На ней можно изучать принцип формирования псевдослучайной последовательности битов, зависимость между инициальным значением регистра и значением псевдослучайной последовательности, отводной последовательностью и периодом. Получаемую псевдослучайную гамму можно использовать в другом программном приложении (например, программная реализация шифра гаммирования).
На сегодняшний момент данные регистры не используются как самостоятельные генераторы псевдослучайных чисел, а входят в состав более сложных устройств. Однако именно они открыли новые направления в математике (поиск примитивных многочленов в конечных полях, математические способы взлома генераторов псевдослучайных чисел). Без знания принципов работы генераторов на РгСсЛОС нельзя понять работу более сложных устройств. Благодаря своей простой аппаратной реализации они получили широкое распространение в технике. Исследование РгСсОС привело к возникновению новых шифров - блочных и потоковых - основанных на этих типах регистров (шифр скользящей перестановки, DES и т.п.; ЭЦП, хеш-функции).
В целом исследования в этой области серьезно подтолкнули развитие криптографии и криптоаналитики, ЭВМ и устройств, а также позволили реализовать и ряд других полезных функций (например, корректирующие цикловые коды).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Шнайер Брюс. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Си. М.: Триумф, 2002
- Бабаш А.В. Криптографические и теоретико-автоматные аспекты современной защиты информации. Том 1 М.: Изд. центр ЕАОИ, 2009. 414 с.
- Е.С. Селмер. Монография: «Линейная рекурсия в конечном поле». Университет Бергена, Норвегия, 1966.
- Н.Зиерлер и Дж. Бриллхарт. "О примитивных трехчленах по модулю 2", журнал Информация и Контроль, издание 13 №6 декабрь 1968, стр. 541-544.
- К.Х. Мейер и У.Л.Тучман. "Псевдослучайные коды могут быть взломаны, " журнал Электроник Дизайн, №. 23, ноябрь 1972.
- Дж.Л.Массей. "Обобщение регистров сдвига и дешифровка кода Бозе-Чоудхури-Хоквингема", IEEE Transactions on Information Theory , v . IT -15, n . 1, январь 1969, стр. 122-127.
- С.У. Голомб. Последовательности регистров сдвига, Сан-Франциско, Голден-Дей, 1967 (переиздано Аигеан Парк Пресс, 1982).
Приложение
А
Таблица некоторых примитивных многочленов по модулю 2
(1, 0)
(2, 1, 0)
(3, 1, 0)
(4, 1, 0)
(5, 2, 0)
(6, 1, 0)
(7, 1, 0)
(7, 3, 0)
(8, 4, 3, 2, 0)
(9, 4, 0)
(10, 3, 0)
(11, 2, 0)
(12, 6, 4, 1, 0)
(13, 4, 3, 1, 0)
(14, 5, 3, 1, 0)
(15, 1, 0)
(16, 5, 3.2, 0)
(17, 3, 0)
(17, 5, 0)
(17, 6, 0)
(18, 7, 0)
(18, 5, 2, 1, 0)
(19, 5, 2, 1, 0)
(20, 3, 0)
(21, 2, 0)
(22, 1, 0)
(23, 5, 0)
(24, 4, 3, 1, 0)
(25, 3, 0)
(26, 6, 2, 1, 0)
(27, 5, 2, 1, 0)
(28, 3, 0)
(29, 2, 0)
(30, 6, 4, 1.0)
(31, 3, 0)
(31, 6, 0)
(31, 7, 0)
(31, 13, 0)
(32, 7, 6, 2, 0)
(32, 7, 5, 3, 2, 1, 0)
(33, 13, 0)
(33, 16, 4, 1, 0)
(34, 8, 4, 3, 0)
(34, 7, 6, 5, 2, 1, 0)
(35, 2, 0)
(135, 11, 0)
(135, 16, 0)
(135, 22, 0)
(136, 8, 3, 2, 0)
(137, 21, 0)
(138, 8, 7, 1, 0)
(139, 8, 5, 3, 0)
(140, 29, 0)
(141, 13, 6, 1, 0)
(142, 21, 0)
(143, 5, 3, 2, 0)
(144, 7, 4, 2, 0)
(145, 52, 0)
(145, 69, 0)
(146, 5, 3, 2, 0)
(147, 11, 4, 2, 0)
(148, 27, 0)
(149, 10, 9, 7, 0)
(150, 53, 0)
(151, 3, 0)
(151, 9, 0)
(151, 15, 0)
(151, 31, 0)
(151, 39, 0)
(151, 43, 0)
(151, 46, 0)
(151, 51, 0)
(151, 63, 0)
(151, 66, 0)
(151, 67, 0)
(151, 70, 0)
(36, 11, 0)
(36, 6, 5, 4, 2, 1, 0)
(37, 6, 4, 1, 0)
(37, 5, 4, 3, 2, 1, 0)
(38, 6, 5, 1, 0)
(39, 4, 0)
(40, 5, 4, 3, 0)
(41, 3, 0)
(42, 7, 4, 3, 0)
(42, 5, 4, 3, 2, 1, 0)
(43, 6, 4, 3, 0)
(44, 6, 5, 2, 0)
(45, 4, 3, 1, 0)
(46, 8, 7, 6, 0)
(46, 8, 5, 3, 2, 1, 0)
(47, 5, 0)
(48, 9, 7, 4, 0)
(48, 7, 5, 4, 2, 1, 0)
(49, 9, 0)
(49, 6, 5, 4, 0)
(50, 4, 3, 2, 0)
(51, 6, 3, 1, 0)
(52, 3, 0)
(53, 6, 2, 1, 0)
(54, 8, 6, 3, 0)
(54, 6, 5, 4, 3, 2, 0)
(55, 24, 0)
(55, 6, 2, 1, 0)
(56, 7, 4, 2, 0)
(57, 7, 0)
(57, 5, 3, 2, 0)
(58, 19.0)
(58, 6, 5, 1, 0)
(59, 7, 4, 2, 0)
(59, 6, 5, 4, 3, 1, 0)
(60, 1, 0)
(61, 5, 2, 1, 0)
(62, 6, 5, 3, 0)
(63, 1, 0)
(64, 4, 3, 1, 0)
(65, 18, 0)
(65, 4, 3, 1, 0)
(66, 9, 8, 6, 0)
(66, 8, 6, 5, 3, 2, 0)
(67, 5, 2, 1, 0)
(152, 6, 3, 2, 0)
(153, 1, 0)
(153, 8, 0)
(154, 9, 5, 1, 0)
(155, 7, 5, 4, 0)
(156, 9, 5, 3, 0)
(157, 6, 5, 2, 0)
(158, 8, 6, 5, 0)
(159, 31, 0)
(159, 34, 0)
(159, 40, 0)
(160, 5, 3, 2, 0)
(161, 18, 0)
(161, 39, 0)
(161, 60, 0)
(162, 8, 7, 4, 0)
(163, 7, 6, 3, 0)
(164, 12, 6, 5, 0)
(165, 9, 8, 3, 0)
(166, 10, 3, 2, 0)
(167, 6, 0)
(170, 23, 0)
(172, 2, 0)
(174, 13, 0)
(175, 6, 0)
(175, 16, 0)
(175, 18, 0)
(175, 57, 0)
(177, 8, 0)
(177, 22, 0)
(1 77, 88, 0)
(68, 9, 0)
(68, 7, 5, 1, 0)
(69, 6, 5, 2, 0)
(70, 5, 3, 1, 0)
(71, 6, 0)
(71, 5, 3, 1, 0)
(72, 10, 9, 3, 0)
(72, 6, 4, 3, 2, 1, 0)
(73, 25, 0)
(73, 4, 3, 2, 0)
(74, 7, 4, 3, 0)
(75, 6, 3, 1, 0)
(76, 5, 4, 2, 0)
(77, 6, 5, 2, 0)
(78, 7, 2, 1, 0)
(79, 9, 0)
(79, 4, 3, 2, 0)
(80, 9, 4, 2, 0)
(80, 7, 5, 3, 2, 1, 0)
(81, 4, 0)
(82, 9, 6, 4, 0)
(82, 8, 7, 6, 1, 0)
(83, 7, 4, 2, 0)
(84, 13, 0)
(84, 8, 7, 5, 3, 1, 0)
(85, 8, 2, 1, 0)
(86, 6, 5, 2, 0)
(87, 13, 0)
(87, 7, 5, 1, 0)
(88, 11, 9, 8, 0)
(88, 8, 5, 4, 3, 1, 0)
(89, 38, 0)
(89, 51, 0)
(89, 6, 5, 3, 0)
(90, 5, 3, 2, 0)
(91, 8, 5, 1, 0)
(91, 7, 6, 5, 3, 2, 0)
(92, 6, 5, 2, 0)
(93, 2, 0)
(94, 21, 0)
(94, 6, 5, 1, 0)
(95, 11, 0)
(95, 6, 5, 4, 2, 1, 0)
(96, 10, 9, 6, 0)
(96, 7, 6, 4, 3, 2, 0)
(178, 87, 0)
(183, 56, 0)
(194, 87, 0)
(198, 65, 0)
(201, 14, 0)
(201, 17, 0)
(201, 59, 0)
(201, 79, 0)
(202, 55, 0)
(207, 43, 0)
(212, 105, 0)
(218, 11, 0)
(218, 15, 0)
(218, 71, 0)
(218.83, 0)
(225, 32, 0)
(225, 74, 0)
(225, 88, 0)
(225, 97, 0)
(225, 109, 0)
(231, 26, 0)
(231, 34, 0)
(234, 31, 0)
(234, 103, 0)
(236, 5, 0)
(250, 103, 0)
(255, 52, 0)
(255, 56, 0)
(255, 82, 0)
(258, 83, 0)
(266, 47, 0)
(97, 6, 0)
(98, 11, 0)
(98, 7, 4, 3, 1, 0)
(99, 7, 5, 4, 0)
(100, 37, 0)
(100, 8, 7, 2, 0)
(101, 7, 6, 1, 0)
(102, 6, 5, 3, 0)
(103, 9, 9)
(104, 11, 10, 1, 0)
(105, 16, 0)
(106, 15, 0)
(107, 9, 7, 4, 0)
(108, 31, 0)
(109, 5, 4, 2.0)
(110, 6, 4, 1, 0)
(111, 10, 0)
(111, 49, 0)
(113, 9, 0)
(113, 15, 0)
(113, 30, 0)
(114, 11, 2, 1, 0)
(115, 8, 7, 5, 0)
(116, 6, 5, 2, 0)
(117, 5, 2, 1, 0)
(118, 33, 0)
(119, 8, 0)
(119, 45, 0)
(120, 9, 6, 2, 0)
(121, 18, 0)
(122, 6, 2, 1, 0)
(123, 2, 0)
(124, 37, 0)
(125, 7, 6, 5, 0)
(126, 7, 4, 2, 0)
(127, 1, 0)
(127, 7, 0)
(127, 63, 0)
(128, 7, 2, 1, 0)
(129, 5, 0)
(130, 3, 0)
(131, 8, 3, 2, 0)
(132, 29, 0)
(133, 9, 8, 2, 0)
(134, 57, 0)
(270, 133, 0)
(282, 35, 0)
(282, 43, 0)
(286, 69, 0)
(286, 73, 0)
(294, 61, 0)
(322, 67, 0)
(333, 2, 0)
(350, 53, 0)
(366, 29, 0)
(378, 43, 0)
(378, 107, 0)
(390, 89, 0)
(462, 73, 0)
(521, 32, 0)
(521, 48, 0)
(521, 158, 0)
(521, 168, 0)
(607, 105, 0)
(607, 147, 0)
(607, 273, 0)
(1279, 216, 0)
(1279, 418, 0)
(2281, 715, 0)
(2281, 915, 0)
(2281, 1029, 0)
(3217, 67, 0)
(3217, 576, 0)
(4423, 271, 0)
(9689, 84, 0)
Ввод инициального состояния (ИС)
роверка на правильность ввода
Выдача сообщения об ошибке
Установка отводной последовательности
Запись ИС в таблицу состояний
Запись i -го состояния регистра и выходного бита в таблицу состояний
ИС==Текущее состояние
Сохранение результатов
Вывод псевдослучайно последовательности
Выход
Запуск
Да
Да
Нет
дешифрование - p i = D (k i , c i) , как показывает рис. 7.21 .
Рис.
7.21.
Шифры потока быстрее, чем блочные шифры . Аппаратная реализация шифра потока также более проста. Когда мы должны зашифровать двоичные потоки и передать их на постоянной скорости, лучший выбор - использовать шифр потока. Шифры потока обладают большей защитой против искажения битов в течение передачи.
В современном шифре потока каждое r -битовое слово в потоке исходного текста зашифровано, используя r -битовое слово в ключевом потоке, чтобы создать соответствующее r -битовое слово в потоке зашифрованного текста .
Рис. 7.22.
Одноразовый блокнот - идеальный шифр. Он совершенен. Нет метода, который дал бы противнику возможность распознать ключ или статистику зашифрованного текста и исходного текста. Нет никаких соотношений между исходным и зашифрованным текстами. Другими словами, зашифрованный текст – настоящий случайный поток битов, даже если получить некоторые образцы исходного текста. Ева не может нарушить шифр, если она не попробует все возможные случайные ключевые потоки, которые были бы 2 n , если размер исходного текста - n -битовый. Однако при этом есть проблема. Передатчик и приемник для того, чтобы совместно использовать одноразовый блокнот ключей, должны установить соединение каждый раз, когда они хотят обменяться информацией. Они должны, так или иначе, договориться о случайном ключе. Так что этот совершенный и идеальный шифр очень трудно реализовать.
Пример 7.17
Какой вид имеет зашифрованный текст при использовании шифра одноразового блокнота в каждом из следующих случаев?
а. Исходный текст состоит из n нулей.
б. Исходный текст состоит из n единиц.
в. Исходный текст состоит из чередующихся нулей и единиц.
г. Исходный текст - случайная строчка бит.
Решение
a. Поскольку 
, то поток зашифрованного текста совпадет с ключевым потоком. Если ключ случайный, зашифрованный текст также случайный. Отрывки исходного текста в зашифрованном тексте не сохраняются.
b. Поскольку 
, где является дополнением, поток зашифрованного текста - дополнение ключевого потока. Если ключевой поток случайный, то зашифрованный текст также случайный, отрывки исходного текста не сохраняются в зашифрованном тексте.
c. В этом случае каждый бит в потоке зашифрованного текста является или тем же самым, что и в ключевом потоке, или его дополнением. Поэтому результат - также случайный, если ключевой поток случайный.
d. В данном случае зашифрованный текст явно случайный, потому что проведение операции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ двух случайных битов в результате дает случайный поток бит.
Регистр сдвига с обратной связью
Одно усовершенствование к одноразовому блокноту - ( FSR - Feedback Shift Register ). FSR может быть реализован или в программном обеспечении, или в аппаратных средствах, но для простоты мы рассмотрим аппаратную реализацию. Регистр сдвига с обратной связью состоит из регистра сдвига и функции обратной связи , как показано на рис. 7.23 .
Рис. 7.23.
Регистр сдвига – последовательность из m ячеек от b 0 до b m-1 , где каждая ячейка предназначена для сохранения единственного бита. Ячейки рассматриваются как n -битовое слово, называемое в начале "начальное значение" или источник . Всякий раз, когда необходимо получить бит на выходе (например, по сигналу в определенное время), каждый бит сдвигается на одну ячейку вправо. Это означает, что значение каждой ячейки присваивается правой соседней ячейке и принимает значение левой ячейки. Самая правая ячейка b 0 считается выходом и дает выходное значение (k i ). Крайняя левая ячейка, b m-1 , получает свое значение согласно значению информации функции обратной связи. Обозначаем выход функции с информацией обратной связи b m . Функция информации обратной связи определяет, какие значения имеют ячейки, чтобы вычислить b m . Регистр сдвига информации обратной связи может быть линейный или нелинейный.
Линейный регистр сдвига с обратной связью (LFSR) . Примем, что b m - это линейная функция b 0 , b 1 ,…..., b m-1 , для которой
Линейный регистр сдвига с обратной связью работает с двоичными цифрами, поэтому умножение и сложение находятся в поле GF(2) , так что значение C i является или 1 , или 0 , но C 0 должно быть 1 , чтобы получить информацию обратной связи на выходе. Операция сложения – это операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Другими словами,
Пример 7.18
Построим линейный регистр сдвига с обратной связью с 5 -ю ячейками, в которых .
Решение
Если С i = 0, b i не играет роли в вычислении b m , то это означает, что b i не связан с функцией информации обратной связи. Если c i = 1 , b i включается в вычисление b m . В этом примере c 1 и c 3 - нули, это означает, что, мы имеем только три подключения. Рисунок 7.24 показывает схему линейного регистра сдвига с обратной связью.
Рис. 7.24.
Пример 7.19
Построим линейный регистр сдвига
с обратной связью с 4
-мя ячейками, в которых 
. Покажите значение регистра после 20
операций (сдвигов
), если исходное значение - (0001) 2
.
Решение
Рисунок 7.25 показывает схему и использование линейного регистра сдвига с обратной связью для шифрования.
Рис. 7.25.
Таблица 7.6. показывает значение потока ключей. Для каждого перехода первое значение b 4 вычисляется, а затем каждый бит сдвигается на одну ячейку вправо.
| Текущее значение | b 4 | b 3 | b 2 | b 1 | b 0 | k i |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Начальное значение | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 5 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 6 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 8 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 11 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 13 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 14 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 15 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 16 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 17 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 18 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 19 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 20 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Заметим, что поток ключей - 1000100110101111 1001…… . Он выглядит, на первый взгляд, как случайная последовательность, но если просмотреть большое число транзакций (сдвигов), мы можем увидеть, что последовательности периодичны. Это повторение по 15 бит показано ниже.
Ключ потока генерирует с помощью линейного регистра сдвига с обратной связью псевдослучайную последовательность , в которой повторяются последовательности длиною N . Поток периодичен. Он зависит от схемы генератора и начальной информации и может быть не свыше 2 m – 1 . Каждая схема порождает m -битовые последовательности от содержащих все нули до содержащих все единицы. Однако если начальная последовательность состоит только из нулей, результат бесполезен - исходный текст был бы потоком из одних нулей. Поэтому такая начальная последовательность исключена.
Сдвиговый регистр с обратной связью ( FSR ) состоит из двух частей: сдвигового регистра и функции обратной связи .
Сдвиговый регистр (Error: Reference source not found) представляет собой последовательность битов. Когда нужно извлечь бит, все биты сдвигового регистра сдвигаются вправо на 1 позицию. Новый крайний левый бит является значением функции обратной связи от остальных битов регистра. Периодом сдвигового регистра называется длина получаемой последовательности до начала её повторения.
Простейшим
видом сдвигового регистра с обратной
связью является линейный сдвиговый
регистр с обратной связью (LFSR
–
Left
Feedback
Shift
Register
)
(Error: Reference source not found).
Обратная связь представляет собой
простоXORнекоторых битов
р
егистра,
перечень этих битов называетсяотводной
последовательностью
.
n -битовыйLFSRможет находиться в одном из2 n -1 внутренних состояний. Это означает, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом2 n -1 битов. Число внутренних состояний и период равны, потому что заполнение регистра нулями приведет к тому, что он будет выдавать бесконечную последовательность нулей, что абсолютно бесполезно. Только при определенных отводных последовательностяхLFSRциклически пройдет через все2 n -1 внутренних состояний. ТакиеLFSRназываютсяLFSR с максимальным периодом .
Для того чтобы конкретный LFSRимел максимальный период, многочлен, образованный из отводной последовательности и константы1 должен быть примитивным по модулю2 .
Вычисление примитивности многочлена – достаточно сложная математическая задача. Поэтому существуют готовые таблицы, в которых приведены номера отводных последовательностей, обеспечивающих максимальный период генератора. Например, для 32-х битового сдвигового регистра можно найти такую запись: (32,7,5,3,2,1,0) . Это означает, что для генерации нового бита необходимо с помощью функцииXORпросуммировать тридцать второй, седьмой, пятый, третий, второй, и первый биты.
Код для такого LFSRна языке С++ будет таким:
// Любое значение кроме нуля
ShiftRegister = ((((ShiftRegister >> 31)
^ (ShiftRegister >> 6)
^ (ShiftRegister >> 4)
^ (ShiftRegister >> 2)
^ (ShiftRegister >> 1)
^ ShiftRegister)
& 0x00000001) <<31)
| (ShiftRegister >> 1);
return ShiftRegister & 0x00000001;
Программные реализации LFSRдостаточно медленны и быстрее работают, если они написаны на ассемблере, а не на С. Одним из решений является использование параллельно 16-тиLFSR(или 32 в зависимости от длины слова в архитектуре конкретного компьютера). В такой схеме используется массив слов, размер которого равен длинеLFSR, а каждый юит слова массива относится к своемуLFSR. При условии, что используются одинаковые номера отводных последовательностей, то это может дать заметный выигрыш в производительности.
С
хему
обратной связи также можно модифицировать.
При этом генератор не будет обладать
большей криптостойкостью, но его будет
легче реализовать программно. Вместо
использования для генерации нового
крайнего левого бита битов отводной
последовательности выполняетсяXORкаждого бита отводной последовательности
с выходом генератора и замена его
результатом этого действия, затем
результат генератора становится новым
левым крайним битом (Error: Reference source not found).
Эту модификацию называют конфигурацией Галуа . На языке С это выглядит следующим образом:
static unsigned long ShiftRegister = 1;
void seed_LFSR (unsigned long seed)
ShiftRegister = seed;
int Galua_LFSR (void)
if (ShiftRegister & 0x00000001) {
ShiftRegister = (ShiftRegister ^ mask >> 1) | 0x8000000;
ShiftRegister >>= 1;
Выигрыш состоит том, что все XORвыполняются за одну операцию. Эта схема также может быть распараллелена.
Сами по себе LFSRявляются хорошими генераторами псевдослучайных последовательностей, но они обладают некоторыми нежелательными неслучайными свойствами. Последовательные биты линейны, что делает их бесполезными для шифрования. ДляLFSRдлиныn внутреннее состояние представляет собой предыдущиеn выходных битов генератора. Даже если схема обратной связи хранится в секрете, то она может быть определена по2 n выходным битам генератора при помощи специальных алгоритмов. Кроме того, большие случайные числа, генерируемые с использованием идущих подряд битов этой последовательности, сильно коррелированны и для некоторых типов приложений не являются случайными. Несмотря на это,LFSRчасто используются для создания алгоритмов шифрования. Для этого используются несколькоLFSR, обычно с различными длинами и номерами отводных последовательностей. Ключ является начальным состоянием регистров. Каждый раз, когда необходим новый бит, все регистры сдвигаются. Эта операция называетсятактированием . Бит выхода представляет собой функцию, желательно нелинейную, некоторых битовLFSR. Эта функция называетсякомбинирующей , а генератор в целом –комбинирующим генератором . Многие из таких генераторов безопасны до сих пор.
Регистр сдвига с обратной связью состоит из двух частей: регистра сдвига и функции обратной связи .
Рис 19. Регистр сдвига с обратной связью.
В общем случае регистр сдвига представляет собой последовательность некоторых элементов кольца или поля. Наиболее часто применяются битовые регистры сдвига. Длина такого регистра выражается числом битов. При каждом извлечении бита все биты регистра сдвигаются вправо на одну позицию. Новый старший бит рассчитывается как функция всех остальных битов регистра. Выходом обычно является младший значащий бит. Периодом регистра сдвига называют длину выходной последовательности до начала ее повторения.
Простейший тип регистров сдвига – регистр сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС или ЛРС). Обратная связь – простая операция XOR над некоторыми битами регистра. Перечень этих битов определяется характеристическим многочленом и называется последовательностью отводов . Иногда такую схему называют конфигурацией Фибоначчи .
Рис.20. РСЛОС конфигурации Фибоначчи.
При программной реализации РСЛОС пользуются модифицированной схемой: для генерации нового значащего бита вместо использования битов последовательности отводов над каждым ее битом выполняется операция XOR с выходом генератора, заменяя старый бит последовательности отводов. Такую модификацию иногда называют конфигурацией Галуа .
Рис.21. РСЛОС конфигурации Галуа.
n -битовый РСЛОС может находиться в одном из 2 n – 1 внутренних состояний. Это значит, что теоретически такой регистр может генерировать псевдослучайную последовательность с периодом 2 n – 1 битов (заполнение нулями совершенно бесполезно). Прохождение всех 2 n – 1 внутренних состояний возможно только при определенных последовательностях отводов. Такие регистры называют РСЛОС с максимальным периодом. Для обеспечения максимального периода РСЛОС необходимо, чтобы его характеристический многочлен был примитивным по модулю 2. Степень многочлена является длиной регистра сдвига. Примитивный многочлен степени n – это такой неприводимый многочлен, который является делителем , но не является делителем x d + 1 для всех d , являющихся делителями 2 n – 1. (При обсуждении многочленов термин простое число заменяется термином неприводимый многочлен ). Характеристический многочлен приведенных на рисунках РСЛОС:
x 32 + x 7 + x 5 + x 3 + x 2 + x + 1
примитивен по модулю 2. Период такого регистра будет максимальным, циклически проходя все 2 32 – 1 значений до их повторения. Наиболее часто используются прореженные многочлены, т.е. у которых есть только некоторые коэффициенты. наиболее популярны трехчлены.
Важным параметром генератора на базе РСЛОС, является линейная сложность . Она определяется как длина n самого короткого РСЛОС, который может имитировать выход генератора. Линейная сложность важна, поскольку при помощи простого алгоритма Берленкемпа-Мэсси можно воссоздать такой РСЛОС, проверив всего 2n битов гаммы. С определением нужного РСЛОС поточный шифр фактически взламывается.
Помимо РСЛОС применяются и регистры сдвига с нелинейной обратной связью, обратной связью по переносу и пр.
Ряд генераторов разработан на основе теоретико-числового подхода (генераторы Блюма-Микали, RSA, BBS, сжимающие, аддитивные генераторы и пр.).
Математическое обеспечение синтеза поточных криптографических алгоритмов разработано более полно и подробно по сравнению с блочными криптоалгоритмами. Тем не менее для создания поточных шифров зачастую используют блочные криптоалгоритмы в режимах OFB или CFB.
